Pengantar Struktur Aljabar

Pandang himpunan bilangan bulat

disertai operasi penjumlahan "+". 
Dapat kita identifikasi beberapa sifat dari struktur tersebut yaitu:

1.  Apabila diambil sebarang dua bilangan bulat maka penjumlahan kedua bilangan bulat tersebut merupakan bilangan bulat juga. Sifat ini sering disebut sebagai sifat tertutup, dan dalam notasimatematika ditulis

2.  Apabila diambil sebarang tiga bilangan bulat a; b dan c maka hasil dari a + b ditambah dengan c sama dengan a ditambah hasil dari b + c. Sifat ini sering disebut sebagai assosiatif, dan dalam notasi matematika ditulis

3. Di dalam himpunan tersebut terdapat suatu bilangan yang apabila dijumlahkan dengan sebarang bilangan bulat maka akan menghasilkan bilangan bulat itu sendiri. Bilangan tersebut adalah 0. Dalam himpunan bilangan bulat, bilangan ini sering disebut sebagai elemen identitas terhadap penjumlahan, ditulis

4. Apabila diambil sebarang bilangan bulat a maka dapat dicari bilangan bulat lain -a sehingga penjumlahan kedua bilangan bulat tersebut merupakan elemen identitas. Sifat ini sering disebut setiap bilangan bulat memiliki invers terhadap penjumlahan, ditulis     

Selanjutnya, Pandang himpunan bilangan Real tanpa nol

disertai operasi perkalian "."
Dapat kita identifikasi beberapa sifat dari struktur tersebut yaitu:

1.  Tertutup

2.  Assosiatif

3.  Identitas

4. Invers
 

 

Definisi
Suatu himpunan G yang dilengkapi dengan operasi-operasi

disebut dengan struktur aljabar atau himpunan yang berstruktur. Selanjutnya, suatu struktur aljabar ditulis dengan

Definisi

Suatu operasi "* " pada G disebut operasi biner jika operasi tersebut bersifat tertutup.
Struktur aljabar yang dilengkapi dengan operasi biner disebut dengan grupoid.

Contoh

1. Himpunan bilangan bulat disertai operasi penjumlahan "+" adalah struktur aljabar. Struktur tersebut dapat ditulis . Struktur aljabar tersebut adalah grupoid karena oeparsi "+" bersifat tertutup.
2. Himpunan bilangan asli disertai operasi pengurangan "-" adalah struktur aljabar. Struktur tersebut dapat ditulis  . Struktur aljabar tersebut adalah bukan grupoid karena oeparsi "-" bersifat tidak tertutup.
   

Latihan 

Untuk setiap mahasiswa, tuliskan 1 struktur aljabar. Selidiki apakah struktur tersebut merupakan grupoid. Jawaban ditulis pada komentar di bawah ini dengan menggunakan akun google yang telah dilengkapi dengan nama dan foto yang benar.

Materi Selanjutnya
Untuk materi berikutnya silahkan klik link berikut
1. Grup